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第２章：数の割り算
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例題１−１： １０１１６４９÷９＝
この問題は、最後に考える。
まず「９で割る」ことについて調べる。
１０÷９＝１…１
１１÷９＝１…２
１２÷９＝１…３
これより、以下の事が分かる。
・商：「割られる数」の最初（左端）のケタの数になっている。
・余り：「割られる数」の最初と次（右端）のケタの和になっている。
※割り算では：「割られる数」÷「割る数」＝「商」…「余り」
※つまり、最初の項が「割られる数」、次の項が「割る数」です。
これを使った計算の仕方を以下に示す。
１３÷９＝
９）１ ３
---------
まず「割る数」のケタ数に合わせて、「割られる数」を縦線で区切る。
９は１ケタなので、１３の右から１ケタの所に縦線を引いておく。
これが、「商」と「余り」の境界線となる。
９）１｜３
----＋---
「割られる数」の左端のケタ（＝１）をそのまま下に書く。
９）１｜３
----＋---
１｜
この数と、右上にある数との和（１＋３＝４）を、右横に書く。
９）１｜３
----＋---
１｜４
よって、１３÷９＝１…４ 」
同じようにして、
１２３０１÷９＝
まず「割る数」のケタ数に合わせて、「割られる数」を縦線で区切る。
次に「割られる数」の左端のケタ（＝１）は、そのまま下に書く。
９）１ ２ ３ ０｜１
----------------＋---
１ ｜
これと右上の数の和（１＋２＝３）を、下に書く。
９）１ ２ ３ ０｜１
----------------＋---
１ ３ ｜
次も同じようにして（３＋３＝６）、
９）１ ２ ３ ０｜１
----------------＋---
１ ３ ６ ｜
最後まで、繰り返す。
９）１ ２ ３ ０｜１
----------------＋---
１ ３ ６ ６｜７
よって、１２３０１÷９＝１３６６…７ 」
※割り算の関係式：「割られる数」＝「商」×「割る数」＋「余り」
※に代入して、計算結果が正しいことを確認してください。
同じように、もう一つやってみる。
１３６÷９＝
９）１ ３｜ ６
--------＋-----
１ ４｜１０
※重要：この時「余り」を左の「商」の方へ繰り上げないように注意！
「余り」が１０（＞９）になったので処理する。
具体的には、「商」に１を加え、「余り」から９を引く。
９）１ ３｜ ６
--------＋-----
１ ４｜１０
｜
＋１｜−９
--------＋-----
１ ５｜ １
よって、１３６÷９＝１５…１ 」
ここで、最初の問題に戻る。
１０１１６４９÷９＝
９）１０１１６ ４｜ ９
----------------＋------
１１２３９ ３｜ ２２
１ ｜
まず、計算途中の繰り上がり（９＋４＝１３）を処理する。
９）１０１１６ ４｜ ９
----------------＋------
１１２３９ ３｜ ２２
１ ｜
----------------＋------
１１２４０ ３｜ ２２
次に「余り」が２２（＞９）になったので、これを処理する。
「商」の方に２を加え、「余り」から９×２＝１８を引く。
９）１０１１６ ４｜ ９
----------------＋------
１１２３９ ３｜ ２２
１ ｜
----------------＋------
１１２４０ ３｜ ２２
｜
＋２｜−１８
----------------＋------
１１２４０ ５｜ ４
よって、１０１１６４９÷９＝１１２４０５…４ 」
※「余り」の処理の別の方法：２２÷９＝２…４ と再計算すれば、
※「商」に加える数２と、「余り」の最終的な値４が求まります。
※どちらの方法が楽かで、使い分けると良いでしょう。
ちなみに、「余り」を出す形ではなく、小数点以下の任意の場所まで
求めたい場合は、通常の筆算と同じように０を増やせば良い。
※重要：「商」の小数点は、「割る数」のケタ数だけ左にずらすこと！
１３÷９＝
９）１ ３．０００００００｜０
------------------------＋--
１．４ ４４４４４４４｜４
よって、１３÷９＝１．４４４４４４４４... 」
※この場合、「割られる数」の残りの各ケタが０なので、
※何度やっても４＋０＝４ と、以下無限に続きます。
※９で割って割り切れない時は、必ずこのような形になります。
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例題１−２： １２３÷８＝
この問題は、少し後で考える。
まず「８で割る」ことについて調べる。
２０÷８＝２…４
２１÷８＝２…５
２２÷８＝２…６
ここでは「余り」が「割られる数」の和にはなっていない。
しかし「割られる数」と「余り」の関係を次のように考えれば、
２×□＋０＝４
２×□＋１＝５
２×□＋２＝６
□＝２ であることが分かる。
さらに、基準数（Ｂと書く）を１０と取れば、
□＝１０−８ つまり、Ｂと「割る数」との差になっている。
□を「差の数」と書くことにする。
※「割る数」が９の場合、「差の数」は１０−９＝１になります。
実際の計算の仕方を以下に示す。
１２３÷８＝
８）１ ２ ３
------------
基準数Ｂ＝１０ と考える。
「差の数」（１０−８＝２）を、「割る数」の下に書く。
「割る数」のケタ数に合わせて、「割られる数」を縦線で区切る。
そして、「割られる数」の左端のケタ（＝１）をそのまま下に書く。
８）１ ２｜３
--- ------＋--
２ １
次に、この数（＝１）と「差の数」を
掛け算して、右上の数（＝２）に足し算する。
つまり、１×２＋２＝４ これを下に書く。
８）１ ２｜３
--- ------＋--
２ １ ４｜
この操作（「差の数」と掛け算してから、右上との和を取る）
を右端まで繰り返す。
８）１ ２｜ ３
--- ------＋----
２ １ ４｜１１
※余り（＝１１）を左の商の方へ繰り上げないことに注意！
最後に、「余り」の処理をする。簡単な時は、暗算でも良い。
（ちなみに「商」に１を足し、「余り」から８を引いている）
８）１ ２｜ ３
--- ------＋----
２ １ ４｜１１
------＋----
１ ５｜ ３
よって、１２３÷８＝１５…３ 」
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例題１−３： １１１００００００÷９８＝
この問題は最後に考える。
まず、前問で使った方法を、さらに拡大する。
つまり、「割る数」が９や８で始まる「大きな数」の
場合の計算方法を調べて行くことにする。
１１１÷８９＝
基準数Ｂ＝１００である。
「割る数」（＝８９）が２ケタなので、
縦線の区切りも右から２ケタの所に引いておく。
８９）１｜１１
----＋----
まず「差の数」（１００−８９＝１１）を「割る数」の下に書く。
８９）１｜１１
---- --＋----
１１
次に「割られる数」の左端のケタをそのまま下に書く。
８９）１｜１１
---- --＋----
１１ ｜
--＋----
１｜
この数を「差の数」と掛け算する。（１×１１＝１１）
これを、右上に書く。
８９）１｜１１
---- --＋----
１１ ｜１１
--＋----
１｜
最後に、右の列を足し算する。（１１＋１１＝２２）
８９）１｜１１
---- --＋----
１１ ｜１１
--＋----
１｜２２
よって、１１１÷８９＝１…２２ 」
※前問までの例では、足し算の結果を、直接
※下に書いていました。今後は計算を楽にするため、
※掛け算の結果を一度中段の欄に書きます。
手順に慣れるため、さらにいくつかの計算例を示す。
１１１１÷８９＝
Ｂ＝１００である。
「差の数」を求め、「割る数」の下に書く。
「割る数」のケタ数に合わせて、「割られる数」を縦線で区切る。
途中計算のために中段の欄を用意する。
「割られる数」の左端のケタをそのまま下に書く。
８９）１１｜１１
---- ----＋----
１１ ｜
｜
----＋----
１ ｜
下の数と「差の数」を掛け算して中段に書く。
８９）１１｜１１
---- ----＋----
１１ １｜１
｜
----＋----
１ ｜
※このように区切りの縦線をまたぐのはＯＫです。
※ただし、この数の「差の数」のケタ数ぶんが、
※完全に右側（「余り」の側）に入る場合は、
※左側（「商」の側）に繰り上げることは出来ません。
次の列の和を下に書く。（１＋１＝２）
８９）１１｜１１
---- ----＋----
１１ １｜１
｜
----＋----
１２｜
次は、２×１１＝２２だから、
８９）１１｜１１
---- ----＋----
１１ １｜１
｜２２
----＋----
１２｜
残りの列の和を計算すると、
８９）１１｜１１
---- ----＋----
１１ １｜１
｜２２
----＋----
１２｜４３
よって、１１１１÷８９＝１２…４３ 」
７６３２÷９４＝
Ｂ＝１００である。
「差の数」を求め、「割る数」の下に書く。
「差の数」が「割る数」より少ないケタ数の時は、左側を０で埋める。
「割る数」のケタ数に合わせて、「割られる数」を縦線で区切る。
途中計算のために中段の欄を用意する。
「割られる数」の左端のケタをそのまま下に書く。
９４）７ ６｜ ３２
---- ------＋------
０６ ｜
｜
------＋------
７ ｜
下に書いた数と「差の数」を掛け算して、結果を中段へ。７×０６＝４２
次の列の和を下に書く。６＋４＝１０
※縦の足し算は、掛け算のたびに１列ずつです。
※繰り上がりが生じた時は、書き方を工夫します。
９４）７ ６｜ ３２
---- ------＋------
０６ ４｜ ２
｜
------＋------
７ ０｜
１ ｜
下に書いた数と「差の数」を掛け算して、結果を中段へ。１０×０６＝６０
※掛け算する下の数は、繰り上がりも含めた１０です。
次の列の和を下に書く。３＋２＋６＝１１
※この繰り上がりは、左の「商」の側には入れないこと！
９４）７ ６｜ ３２
---- ------＋------
０６ ４｜ ２
｜ ６０
------＋------
７ ０｜ １
１ ｜１
中段が右端まで来た所で、掛け算は終了。
右端の列の和も下に書く。そして繰り上がりを整理する。
９４）７ ６｜ ３２
---- ------＋------
０６ ４｜ ２
｜ ６０
------＋------
７ ０｜ １２
１ ｜１
------＋------
８ ０｜１１２
最後に、余りが１１２（＞９４）なので、処理する。
９４）７ ６｜ ３２
---- ------＋------
０６ ４｜ ２
｜ ６０
------＋------
７ ０｜ １２
１ ｜１
------＋------
８ ０｜１１２
｜
＋１｜−９４
------＋------
８ １｜ １８
よって、７６３２÷９４＝８１…１８ 」
１０１０１０１÷８９９９９７＝
Ｂ＝１００００００である。
「差の数」（Ｂ−「割る数」）を求める際の公式：
『各ケタは９から引き算、右端のみ１０から引き算』を使うと、
８９９９９７ → １００００３と「差の数」が楽に求まる。
８９９９９７）１｜０１０１０１
------------ --＋------------
１００００３ ｜１００００３
--＋------------
１｜１１０１０４
よって、１０１０１０１÷８９９９９７＝１…１１０１０４ 」
※「商」が１なので、この問題は、実はあまり意味がありません。
※「差の数」を求める公式を示すために挙げました。
１１１１１１１１÷９９９７９＝
Ｂ＝１０００００である。
「差の数」は公式より、０００２１となる。
「差の数」が「割る数」より少ないケタ数の時は、左側を０で埋める。
９９９７９）１１１｜１１１１１
---------- ------＋----------
０００２１ ００｜０２１
０｜００２１
｜０００２１
------＋----------
１１１｜１３４４２
※中段に確保する計算欄の行数は、区切りの縦線より左側にある
※「割られる数」のケタ数ぶんとなります。この場合は、
※左側は１１１と３ケタなので、中段は３行ぶん確保します。
よって、１１１１１１１１÷９９９７９＝１１１…１３４４２ 」
ここで、最初の問題に戻る。
１１１００００００÷９８＝
※以下のことに注意して、ご自分でやってみてください。
※「差の数」を求める。必要なら公式を使う。
※「差の数」のケタ数に注意する。必要なら０で埋める。
※「割る数」のケタ数に合わせて、「割られる数」を縦線で区切る。
※中段の計算欄に必要な行数を確保する。
※答えが出たら「割り算の関係式」で正解かどうかを確認！
９８）１１１００００｜００
---- --------------＋----
０２ ０２ ｜
０２ ｜
０６ ｜
０４ ｜
１２｜
１｜０
｜０６
--------------＋----
１１３２６５３｜ ６
よって、１１１００００００÷９８＝１１３２６５３…６ 」
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例題１−４： １１１００００００÷４９＝
「割る数」が「大きな数」でない場合を考える。
４９×２＝９８
※この「×２」の操作を後で使います。
この９８は「大きな数」だから、
４９の代わりに９８で割れば、
４９×２＝９８）１１１００００｜００
---- --------------＋----
０２ ０２ ｜
０２ ｜
０６ ｜
０４ ｜
１２｜
１｜０
｜０６
--------------＋----
１１３２６５３｜ ６
※ここまで前問と全く同じです。
最後に左側の「商」に「×２」の操作を加える。
右側の「余り」はそのまま。
４９×２＝９８）１１１００００｜００
---- --------------＋----
０２ ０２ ｜
０２ ｜
０６ ｜
０４ ｜
１２｜
１｜０
｜０６
--------------＋----
１１３２６５３｜ ６
｜
×２｜
--------------＋----
２２６５３０６｜ ６
よって、１１１００００００÷９８＝２２６５３０６…６ 」
※このように「小さな数」は、「大きな数」に帰着させることが可能です。
※直接「小さな数」で割り算をする方法は、次の例題で扱います。
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例題２−１： １２３４÷１１２＝
「割る数」が１で始まる「小さな数」の場合を考える。
まず、ケタごとにバラバラに書く。
※（１ ２ ３ ４）という組を（１ １ ２）という組で
※「割る」と考えます。具体的な計算は以下で説明します。
１ １ ２） １ ２ ３ ４
------------ --------------------
今までの「差の数」と同様に「差の数の組」を求める。
「基準の数の組」はこの場合（１ ０ ０）となる。
（１ ０ ０）から（１ １ ２）のそれぞれを引くと、
（１−１ ０−１ ０−２）＝（０ −１ −２）
この「差の数の組」を「割る数の組」の下に書く。
※この時、左端の０は無視する（＝書かない）。
１ １ ２） １ ２ ３ ４
------------ --------------------
−１ −２
「差の数の組」は数字２個で出来ているので、
「割られる数の組」の右から２個の所に、縦線の区切りを入れる。
１ １ ２） １ ２｜ ３ ４
------------ --------＋----------
−１ −２
「割られる数の組」の左端を、そのまま下に書く。
１ １ ２） １ ２｜ ３ ４
------------ --------＋----------
−１ −２ ｜
｜
--------＋----------
１ ｜
この数と「差の数の組」のそれぞれを掛け算すると、
１×（−１ −２）＝（−１ −２）
これを、右上に書く。
※それぞれ独立した数なので、繰り上がりは一切ありません。
１ １ ２） １ ２｜ ３ ４
------------ --------＋----------
−１ −２ −１｜−２
｜
--------＋----------
１ ｜
次の列の和は、２＋（−１）＝１
「差の数の組」と掛け算すると１×（−１ −２）＝（−１ −２）
１ １ ２） １ ２｜ ３ ４
------------ --------＋----------
−１ −２ −１｜−２
｜−１ −２
--------＋----------
１ １｜
中段の計算欄が埋まったので、残りの列の和を計算すると、
１ １ ２） １ ２｜ ３ ４
------------ --------＋----------
−１ −２ −１｜−２
｜−１ −２
--------＋----------
１ １｜ ０ ２
計算終了後、結果を普通の数として見る。
よって、１２３４÷１１２＝１１…２ 」
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参考文献：
書名：『Vedic Mathematics』
著者：Sri Bharati Krisna Tirthaji
ISBN：8120801636
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